2026年3月江苏苏北七市二模数学试卷#19
已知有穷等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的项数为 $N$（$N\geqslant 3$），$a_1>0$，公比 $q\in(0,1)$．将 $\left\{a_n\right\}$ 的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列 $\left\{b_n\right\}$，使得 $1\leqslant i<j\leqslant N$ 时，$a_i b_i\geqslant a_j b_j$．
1、若 $N=3$，写出所有满足条件的 $\left\{b_n\right\}$；
2、是否存在 $\left\{b_n\right\}$，使得对任意 $3\leqslant k\leqslant N$，$b_{k-1}^2\neq b_{k-2}b_k$ 都成立，并说明理由；
3、从满足条件的所有数列 $\left\{b_n\right\}$ 中随机抽取一个，求抽到的 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列的概率．
解析
1、有穷等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的项的角标表示排列，则 $1\leqslant i<j\leqslant N$ 时，$a_i b_i\geqslant a_j b_j$ 即 $\{a_n\}:1,2,\cdots,N$ 与 $\{b_n\}$ 对应的排列的对应和不减，考虑\[\begin{array}{c|c|c}\hline \{b_n\}~\text{对应排列}&\text{对应和}&\text{是否满足条件}\\ \hline 1,2,3&2,4,6&\checkmark\\ \hline 1,3,2&2,5,5&\checkmark\\ \hline 2,1,3&3,3,6&\checkmark\\ \hline 2,3,1&3,5,4&\times \\ \hline 3,1,2&4,3,5&\times \\ \hline 3,2,1&4,4,4&\checkmark\\ \hline\end{array}\]因此所有满足条件的 $\{b_n\}$ 有：\[a_1,a_2,a_3;a_1,a_3,a_2;a_2,a_1,a_3;a_3,a_2,a_1.\]
2、当 $N$ 为偶数时，取 $\{b_n\}$ 对应排列为\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline \{a_n\}~\text{对应排列}&1,2&3,4&\cdots&N-1,N\\ \hline \{b_n\}~\text{对应排列}&2,1&4,3&\cdots&N,N-1\\ \hline \text{对应和}&3,3&7,7&\cdots&2N-1,2N-1\\ \hline\end{array}\] 当 $N$ 为奇数时，取 $\{b_n\}$ 对应排列为\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline \{a_n\}~\text{对应排列}&1,2&3,4&\cdots&N\\ \hline \{b_n\}~\text{对应排列}&2,1&4,3&\cdots&N\\ \hline \text{对应和}&3,3&7,7&\cdots&2N\\ \hline\end{array}\]因此存在符合题意的 $\{b_n\}$．
3、若 $\{b_n\}$ 中 $1$ 与 $\{a_n\}$ 中的 $k$ 对应，则依次考虑 $\{a_n\}$ 中 $k-1,k-2,\cdots,1$ 对应的项号，分别为\[2,3,\cdots,k,\]于是 $\{a_n\}$ 中剩下的 $k+1,k+2,\cdots,N$ 的部分的对应排列数与 $1,2,\cdots,N-k$ 的对应排列数相等，也即满足条件的排列数 $f_N$ 满足\[f_N=\sum_{k=1}^{N-1}f_{N-k},\]其中 $f_1=1$，进而\[f_{N+1}-f_N=\sum_{k=1}^{N}f_{N+1-k}-\sum_{k=1}^{N-1}f_{N-k}=f_N,\]因此 $\{f_N\}$ 是首项为 $1$，公比为 $2$ 的等比数列，进而 $f_N=2^{N-1}$．而 $\{b_n\}$ 为等比数列，即对应排列为\[1,2,3,\cdots,N;\quad N,N-1,\cdots,3,2,1,\]共 $2$ 个，因此所求概率为 $\dfrac{2}{2^{N-1}}=\dfrac{1}{2^{N-2}}$．