2026年3月江苏苏北七市二模数学试卷#18
一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱 $OO^{\prime}$ 中，椭圆 $O$ 的长轴长为 $4$，短轴长为 $2$，$OO^{\prime}=2$．$A,B$ 是椭圆 $O$ 上关于 $O$ 对称的两点，$C,D$ 是椭圆 $O^{\prime}$ 上关于 $O^{\prime}$ 对称的两点，且 $AB\perp CD$．
1、证明：$CD\perp~\text{平面}~AO^{\prime}B$；
2、若 $AB=CD$，求直线 $AC$ 与底面所成角的正弦值；
3、求四面体 $ABCD$ 的内切球半径的最小值．
解析
1、根据题意，有 $CD\perp AB$ 且 $CD\perp OO'$，于是 $CD\perp AO'B$．
2、设 $C,D$ 在底面 $O$ 上的投影分别为 $C_1,D_1$，则 $AB\perp C_1D_1$，设 $AB=2m$，$C_1D_1=2n$，则根据椭圆的内准圆性质，有\[\dfrac 1{m^2}+\dfrac1{n^2}=\dfrac 54.\]建立空间直角坐标系 $O-AD_1O'$，则\[\begin{cases} A(m,0,0),\\ B(-m,0,0),\\ C(0,-n,2),\\ D(0,n,2),\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow{AC}=(-m,-n,2),\\ \overrightarrow n_{O}=(0,0,1),\end{cases}\]当 $AB=CD$ 时，有 $m=\dfrac{2\sqrt{10}}5$，于是所求直线 $AC$ 与底面所成角的正弦值为\[\dfrac{\left|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow n_O\right|}{AC\cdot \left|\overrightarrow n_O\right|}=\dfrac{2}{\sqrt{2m^2+4}}=\dfrac{\sqrt{5}}3.\]
3、根据题意，四面体 $ABCD$ 的内切球半径\[ \begin{split} r&=\dfrac{3[ABCD]}{2[\triangle ABD]+2[\triangle ACD]}\\ &=\dfrac{3\cdot \left(\frac 16\cdot 2m\cdot 2n\cdot 2\right)}{2\left(\frac 12\cdot 2m\cdot \sqrt{n^2+4}+\frac 12\cdot 2n\cdot \sqrt{m^2+4}\right)}\\ &=\dfrac{2mn}{m\sqrt{n^2+4}+n\sqrt{m^2+4}}\\ &=\dfrac{2}{\sqrt{1+\frac{4}{m^2}}+\sqrt{1+\frac{4}{n^2}}}\\ &\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{\frac 12\left(1+\frac{4}{m^2}+1+\frac{4}{n^2}\right)}}\\ &=\dfrac{\sqrt{14}}7,\end{split}\]等号当 $m=n$ 时取得，因此所求四面体 $ABCD$ 的内切球半径的最小值为 $\dfrac{\sqrt{14}}7$．