每日一题[3801]面积转化

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 且斜率为 $\sqrt 3$ 的直线 $l$ 交双曲线右支于点 $A$（在第一象限），$\triangle AF_1 F_2$ 的内心为 $I$，直线 $AI$ 交 $x$ 轴于点 $P$，且 $|AI|=2|IP|$，则双曲线的离心率为_____．

答案    $\dfrac 54$．

解析    设双曲线的半焦距为 $c$，根据双曲线的焦半径公式二，有

$$|AF_2|=\dfrac{b^2}{a-c\cos\frac{\pi}3}=\dfrac{2b^2}{2a-c},$$ 于是 $$|AI|=2|IP|\implies [\triangle AF_1F_2]=3[\triangle IF_1F_2],$$

于是

$$\dfrac 12(|AF_1|+|AF_2|+|F_1F_2|)\cdot r=3\cdot \left(\dfrac12\cdot |F_1F_2|\cdot r\right),$$ 其中 $r$ 为 $\triangle AF_1F_2$ 的内切圆半径．因此 $$\dfrac{2b^2}{2a-c}\cdot 2+2a+2c=3\cdot 2c,$$ 将 $b^2=c^2-a^2$ 代入整理可得双曲线的离心率 $\dfrac ca=\dfrac 54$．