每日一题[3661]小马过河

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#17

已知五位数 $n$ 满足 $2556 \mid\left(n^3-1\right)$，则 $n$ 的各位数字之和的最小值为______．

解析   因为 $2556=2^2 \cdot 3^2 \cdot 71^1$，所以 $$\begin{split} 2556 \mid n^3-1 & \iff\begin{cases} 4\mid n^3-1,\\ 9\mid n^3-1,\\ 71\mid n^3-1,\end{cases} \iff \begin{cases} n^3\equiv 1\pmod 4,\\ n^3\equiv 1\pmod 9,\\ n^3\equiv 1\pmod {71},\end{cases}\iff \begin{cases} n\equiv 1\pmod 4,\\ n\equiv 1\pmod 3,\\ n\equiv 1\pmod {71}^{[1]},\end{cases}\end{split}$$ 根据中国剩余定理，有 $$n\equiv 1\pmod {4\cdot 3\cdot71}\iff n\equiv 1\pmod{852}.$$ 记 $n=\overline{abcde}$ 在十进制下的各位数字之和为 $S(n)$，由于 $n\equiv 1\pmod 3$，所以 $S(n)\equiv 1\pmod 3$．由于 $n\equiv 1\pmod 4$，于是 $$\overline{de}\equiv 1\pmod 4.$$ 而 $71\cdot14=1000-6$，于是 $$6\cdot \overline{ab}+\overline{cde}\equiv 1\pmod{71}\implies -11a+6b+29c+10d+e\equiv 1\pmod {71}.$$

若 $S(n)=1$，则 $n=10000$，不符合题意；

若 $S(n)=4$，则 $e=1,3$．若 $e=3$，则 $n=10003$，不符合题意；若 $e=1$，则 $$-11a+6b+29c+10d=71k,k\in\mathbb Z$$ 由于 $a\geqslant 1$，于是 $b+c+d\leqslant 2$，从而 $$12\leqslant 6b+29c+10d\leqslant 58\implies 6b+29c+10d=11a,$$ 不符合题意；

若 $S(n)=7$，则考虑 $e=1$，且 $$6b+29c+10d=71+11a,$$ 取 $c=3$，$a=2$，$b=1$，$d=0$ 即可．

综上所述，$n$ 的各位数字之和的最小值为 $7$，此时 $n=21301$．

备注

$[1]$ 记 $\delta_p(n)$ 是使得 $n^k\equiv 1\pmod p$ 的最小正整数，则根据费马小定理，有 $$n^{70}\equiv 1\pmod {71}\implies \delta_{71}(n)\mid 70,$$ 又 $n^3\equiv 1\pmod {71}$，于是 $\delta_{71}(n)\mid 3$，因此 $\delta_{71}(n)=1$．