每日一题[3392]平均性质

已知抛物线 $y=\dfrac{x^2}4$，经过焦点 $F$ 斜率为 $k$（$k\neq 0$）的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于点 $C$，则 $\dfrac{|AB|}{|CF|}$ 的值为_______．

答案    $2$．

解析    不妨设 $k>0$，设 $A(4a,4a^2)$，$B(4b,4b^2)$，$AB$ 与 $y$ 轴的夹角为 $\theta$，$AB$ 的中点为 $M(2a+2b,2a^2+2b^2)$，则由直线 $AB$ 的斜率为 $k$ 以及过焦点 $F$ 可得

$$\begin{cases} a+b=k,\\ 4ab=-1,\end{cases}$$ 此时 $$\dfrac{|AB|}{|CF|}=\dfrac{|AB|\cos\theta}{|FM|}=\dfrac{|4a-4b|\cdot \dfrac{k}{\sqrt{1+k^2}}}{|2a+2b|}=\dfrac{4\sqrt{k^2+1}\cdot \dfrac{k}{\sqrt{1+k^2}}}{2k}=2.$$