每日一题[3306]数列与放缩

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $1$，且 $\ln\left(a_3+1\right)$ 是 $\ln a_2,\ln\left(a_{10}-2\right)$ 的等差中项．

1、求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

2、从数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $m$ 项中（$m\geqslant 3$），随机选出两个不同的项相乘，所得结果为奇数的概率为 $P_m$．是否存在正整数 $N$，当 $m\geqslant N$ 时，恒有 $P_m>\dfrac 1 6$，若存在，求出 $N$ 的最小值．若不存在．请说明理由；

3、数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\dfrac 1{a_n a_{n+1}}$，记数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $2 n$ 项中所有奇数项的和为 $S_n$．求证：$S_n<1$．

解析

1、根据题意，有 $$2\ln(a_3+1)=\ln a_2+\ln(a_{10}-2)\implies (a_3+1)^2=a_2(a_{10}-2),$$ 即 $$(a_3+1)^2=(a_3-1)(a_3+5)\iff a_3=3,$$ 因此 $a_n=n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

2、当 $m=2k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）时，前 $m$ 项中有 $k$ 个奇数，$k$ 个偶数；当 $m=2k+1$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）时，前 $m$ 项中有 $k+1$ 个奇数，$k$ 个偶数，因此 $$P_m=\begin{cases} \dfrac{\binom{k}{2}}{\binom{2k}{2}},&m=2k,\\ \dfrac{\binom{k+1}2}{\binom{2k+1}{2}},&m=2k+1,\end{cases}=\begin{cases} \dfrac{k-1}{4k-2},&m=2k,\\ \dfrac{k+1}{4k+2},&m=2k+1,\end{cases}$$ 解不等式 $P_m>\dfrac 16$，可得 $m=2k$ 且 $k>2$，于是 $N$ 的最小值为 $6$．

3、根据题意，有 $$\begin{split} S_n&=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)\cdot 2k}\\ &<\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)\cdot 2k}+\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2k\cdot (2k+1)}\\ &=\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{1}{k(k+1)}\\ &=1-\dfrac{1}{2n+1}\\ &<1.\end{split}$$

备注    事实上，有 $$\begin{split} \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)\cdot 2k}&=\dfrac 14\sum_{k=1}^n\dfrac1{(k-\frac 12)\cdot k}\\ &<\dfrac 14\sum_{k=1}^n\dfrac1{(k-\frac 34)\cdot (k+\frac 14)}\\ &=\dfrac 14\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{k-\frac 34}-\dfrac{1}{k-\frac14}\right)\\ &=\dfrac 14\left(3-\dfrac{1}{n-\frac14}\right)\\ &<\dfrac 34.\end{split}$$