每日一题[3060]中间桥梁

在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为角 $A,B,C$ 的对边，$\cos C=-\dfrac 78$，$\sin A+\sin B=\dfrac 12$，$a<b$，则 $\dfrac ba=$ （       ）

A．$2$

B．$\dfrac 32$

C．$\dfrac 43$

D．$1$

答案    D．

解析    根据题意，有

$$\sin A+\sin B=\dfrac 12\implies 2\sin\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2=\dfrac 12,$$ 而 $$\cos C=-\dfrac 78\implies \cos(A+B)=\dfrac 78\implies \sin\dfrac{A+B}2=\dfrac 1{4},$$ 因此 $A-B=0$，根据正弦定理，$\dfrac ba=1$．

备注    此题 $\cos\dfrac{A-B}2$ 恰好为 $1$，若不为 $1$，则

$$\dfrac ba=\dfrac{\sin B}{\sin A}=\dfrac{\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A+B}2-\cos\dfrac{A+B}2\sin\dfrac{A-B}2}{\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A+B}2-\cos\dfrac{A+B}2\sin\dfrac{A-B}2}=\dfrac{\tan\dfrac{A+B}2-\tan\dfrac{A-B}2}{\tan\dfrac{A+B}2+\tan\dfrac{A-B}2},$$ 分别算出 $\tan\dfrac{A+B}2$ 和 $\tan\dfrac{A-B}2$ 代入计算即得．