每日一题[2968]清君侧

已知函数 $f(x)=x^a \ln x-x$．

1、当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、当 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \leqslant-1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

3、设 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，证明 $: \ln (n+1)<1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{n}{2(n+1)}$．

解析

1、当 $a=1$ 时，函数 $f(x)=x\ln x-x$，其导函数 $$f'(x)=\ln x,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．

2、根据题意，有 $f(x)\leqslant -1$ 等价于 $$\ln x-x^{1-a}+x^{-a}\leqslant 0,$$ 设不等式左侧为函数 $g(x)$，则 $g(1)=0$，端点分析，其导函数 $$g'(x)=x^{-1}-(1-a)x^{-a}-ax^{-a-1}=x^{-a-1}\left(x^a-(1-a)x-a\right),$$ 设 $h(x)=x^a-(1-a)x-a$，则 $h(1)=0$，其导函数 $$h'(x)=ax^{a-1}-(1-a),$$ 有 $h'(1)=2a-1$，讨论分界点为 $a=\dfrac 12$．

情形一     $a\leqslant \dfrac 12$．此时 $$g(x)=\ln x-x^{-a}(x-1)\leqslant \leqslant \ln x-\left(\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}\right)\leqslant 0,$$ 符合题意．

情形二     $a>\dfrac 12$．此时设区间 $$D=\begin{cases} (1,+\infty),&a\geqslant 1,\\ \left(1,\left(\dfrac{a}{1-a}\right)^{\frac{1}{1-a}}\right),&\dfrac 12<a<1.\end{cases}$$ 则在区间 $D$ 上，$h'(x)>0$，从而 $h(x)$ 单调递增，$h(x)>0$，进而 $g(x)$ 单调递增，$g(x)>0$，不符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$．

3、根据题意，有 $$\begin{split} LHS&=\sum_{k=1}^{n}\ln\dfrac{k+1}{k}\\ &=\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\dfrac 1k\right)\\ &<\dfrac 12\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{k+1}{k}-\dfrac{k}{k+1}\right)\\ &=\dfrac 12\sum_{k=1}^n\left(\dfrac 1k+\dfrac{1}{k+1}\right)\\ &=\dfrac 12+\sum_{k=2}^n\dfrac 1k+\dfrac{1}{2(n+1)}\\ &=\sum_{k=1}^n\dfrac 1k-\dfrac{n}{2(n+1)},\end{split}$$ 命题得证．