每日一题[2948]对称构造

已知函数 $f(x)=\dfrac{a}{x}-\ln x$（$a \in \mathbb R$）．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $x_1, x_2$ 是方程 $f(x)=2$ 的两个实数解，证明：$x_1+x_2>\dfrac{2}{{\rm e}^3}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{-x-a}{x^2},$$ 因此当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减；当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,-a)$ 上单调递增，在 $(-a,+\infty)$ 上单调递减．

2、根据题意，有 $a<0$ 且 $$f(-a)=-1-\ln(-a)>2\implies -a<\dfrac{1}{{\rm e}^3},$$ 而 $$\dfrac{a}{x_1}-\ln x_1=\dfrac{a}{x_2}-\ln x_2=2,$$ 即 $$2x_1+x_1\ln x_1=2x_2+x_2\ln _2=a,$$ 设 $g(x)=2x+x\ln x$，$0<x_1<\dfrac{1}{{\rm e}^3}<x_2$，则 $$g'(x)=3+\ln x,\quad g''(x)=\dfrac 1x,$$ 从而 $$x_1+x_2>\dfrac{2}{{\rm e}^3}\iff x_2>\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x_1\iff g(x_2)>g\left(\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x_1\right)\iff g(x_1)>g\left(\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x_1\right),$$ 设函数 $h(x)=g(x)-g\left(\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x\right)$，则 $$h'(x)=g'(x)+g'\left(\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x\right),\quad h''(x)=g''(x)-g''\left(\dfrac{2}{{\rm e}^3}-x\right),$$ 当 $x\in\left(0,\dfrac{1}{{\rm e}^3}\right)$ 时，有 $h''(x)>0$，于是在区间 $x\in\left(0,\dfrac{1}{{\rm e}^3}\right)$ 上，$h'(x)<0$，$h(x)$ 单调递减，于是 $$h(x)>h\left(\dfrac{1}{{\rm e}^3}\right)=0,$$ 命题得证．