每日一题[2874]ALG不等式

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2-2 x+a \ln x$（$a>0$）．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)$ 有 $2$ 个极值点 $x_1, x_2$，证明：$\left|\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\right|<\sqrt{1-a}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{x^2-2x+a}{x},$$ 定义域为 $(0,+\infty)$，分子部分对应 $\Delta=4-4a$，讨论分界点为 $a=1$．

情形一     $a\in (0,1)$．此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,1-\sqrt{1-a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(1-\sqrt{1-a},1+\sqrt{1-a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(1+\sqrt{1-a},+\infty\right)$ 上单调递增．

 情形二     $a\in [1,+\infty)$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，$x=x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程

$$x^2-2x+a=0$$ 的两个根，不妨设 $x_1<x_2$，则 $f(x_1)>f(x_2)$，于是 $$\begin{split} \left|\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right|&=-\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\\ &=-\dfrac{\left(\dfrac 12x_1^2-2x_1+a\ln x_1\right)-\left(\dfrac 12x_2^2-2x_2+a\ln x_2\right)}{x_1-x_2}\\ &=-\dfrac 12(x_1+x_2)+2+a\cdot \dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}\\ &<-\dfrac 12(x_1+x_2)+2-a\cdot \dfrac{2}{x_1+x_2}\\ &=-\dfrac 12\cdot 2+2-a\cdot \dfrac{2}{1}\\ &=1-a<\sqrt{1-a},\end{split}$$ 因此命题得证．