每日一题[2873]左右逢源

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} a x^2+\ln x $,$g(x)=-b x$,其中 $a , b \in \mathbb{R}$.设 $h(x)=f(x)-g(x)$.

1、若 $f(x)$ 在 $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 处取得极值,且 $f^{\prime}(1)=g(-1)-2$,求函数 $h(x)$ 的单调区间.

2、若 $a=0$ 时,函数 $h(x)$ 有两个不同的零点 $x_1 , x_2$.

① 求 $b$ 的取值范围.

② 求证:$\dfrac{x_1 x_2}{\mathrm{e}^2}>1$.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=ax+\dfrac 1x,\]根据题意,有\[\begin{cases} a\cdot \dfrac{\sqrt 2}2+\sqrt 2=0,\\ a-1=b-2,\end{cases}\iff \begin{cases} a=-2,\\ b=1,\end{cases}\]因此 $h(x)=-x^2+\ln x+x$,其导函数\[h'(x)=\dfrac{2x+1}x\cdot (1-x),\]因此函数 $h(x)$ 的单调递增区间是 $(0,1)$,单调递减区间是 $(1,+\infty)$.

2、① 当 $a=0$ 时,$h(x)=\ln x+bx$,于是方程 $h(x)=0$ 即\[-b=\dfrac{\ln x}{x},\]由于 $\left(\dfrac{\ln x}x\right)'=\dfrac{1-\ln x}{x}$,因此\[\begin{array}{c|ccccc}\hline x&0&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty \\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}\]从而由函数 $h(x)$ 有两个不同的零点 $x_1 , x_2$ 可得 $-b$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$,因此 $b$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac{1}{\rm e},0\right)$.

② 根据 ① 的结果,不妨设 $x_1<x_2$,则\[0<x_1<{\rm e}<x_2,\quad \dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=-b,\]从而根据对数平均不等式,有\[\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<\dfrac{x_1+x_2}2,\]于是\[\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{(-bx_1)-(-bx_2)}<\dfrac{\left(-\dfrac 1b\ln x_1\right)+\left(-\dfrac 1b\ln x_2\right)}2,\]即\[\sqrt{x_1x_2}<-\dfrac 1b<-\dfrac 1b\ln\sqrt{x_1x_2}\iff {\rm e}^2<x_1x_2<\dfrac{1}{b^2},\]命题得证.

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