每日一题[2871]极值点偏移

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{2 x}-a x^2-1$（$x \in \mathbb{R}$）有两个极值点 $x_1 , x_2$．

1、求实数 $a$ 的取值范围．

2、求证：$a \mathrm{e}^{2 x_1}+a \mathrm{e}^{2 x_1}>2 \mathrm{e}^{2 x_1} \cdot \mathrm{e}^{2 x_2}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=2{\rm e}^{2x}-2ax=2x\left(\dfrac{{\rm e}^{2x}}{x}-a\right),$$ 考虑到 $\left(\dfrac{{\rm e}^{2x}}{x}\right)'=\dfrac{{\rm e}^{2x}(2x-1)}{x^2}$，于是 $$\begin{array}{c|cccccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,0)&0-&0+&\left(0,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,+\infty\right)&+\infty\\ \hline \dfrac{{\rm e}^{2x}}{x}&0&\searrow&-\infty&+\infty&\searrow&2{\rm e}&\nearrow&+\infty \\ \hline \end{array}$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(2{\rm e},+\infty\right)$．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有

$$\dfrac{{\rm e}^{2x_1}}{x_1}=\dfrac{{\rm e}^{2x_2}}{x_2}=a,$$ 于是欲证不等式即 $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}>2$．不妨设 $0<x_1<\dfrac 12<x_2$，则 $\dfrac{1}{x_1}>2$，命题得证．

备注    事实上，可以证明 $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}>4$．