每日一题[2870]三次曲线

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x\left(x^2+3 x+a\right)$.

1、求 $f(x)$ 的单调区间.

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 , x_2$,设 $A\left(x_1, f\left(x_1\right)\right) , B\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$,是否存在 $a$,使得直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点在曲线 $y=f(x)$ 上?如果存在,求 $a$ 的值;如果不存在,请说明理由.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=x^2+2x+\dfrac a3,\]讨论分界点为 $a=3$.

情形一     $a\geqslant 3$.此时 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,+\infty)$,没有单调递减区间.

情形二    $a<3$.此时 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\infty,-1-\sqrt{1-\dfrac a3}\right)$ 和 $\left(-1+\sqrt{1-\dfrac a3},+\infty\right)$,单调递减区间为 $\left(-1-\sqrt{1-\dfrac a3},-1+\sqrt{1-\dfrac a3}\right)$.

2、根据三次函数的对称性,直线 $AB$ 与曲线 $y=f(x)$ 的公共点为 $A,B,M$,其中 $M$ 为三次函数图象的中心 $(-1,f(-1))$ 即 $\left(-1,-\dfrac 13(a-2)\right)$,也即 $A,B$ 的中点.

若 $M$ 在 $x$ 轴上,则 $a=2$;

若 $A$ 或 $B$ 在 $x$ 轴上,注意到函数 $f(x)$ 的图象过原点,因此函数 $f(x)$ 的解析式或者包含因式 $x^2$(此时 $x=0$ 为极值点),或者为 $x$ 与某完全平方式的乘积(此时 $x=0$ 不为极值点),因此 $a=0$ 或 $a=\dfrac 94$.

综上所述,$a$ 的值为 $0,2,\dfrac 94$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复