每日一题[2870]三次曲线

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x\left(x^2+3 x+a\right)$．

1、求 $f(x)$ 的单调区间．

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 , x_2$，设 $A\left(x_1, f\left(x_1\right)\right) , B\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$，是否存在 $a$，使得直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点在曲线 $y=f(x)$ 上？如果存在，求 $a$ 的值；如果不存在，请说明理由．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=x^2+2x+\dfrac a3,$$ 讨论分界点为 $a=3$．

情形一     $a\geqslant 3$．此时 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,+\infty)$，没有单调递减区间．

情形二    $a<3$．此时 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\infty,-1-\sqrt{1-\dfrac a3}\right)$ 和 $\left(-1+\sqrt{1-\dfrac a3},+\infty\right)$，单调递减区间为 $\left(-1-\sqrt{1-\dfrac a3},-1+\sqrt{1-\dfrac a3}\right)$．

2、根据三次函数的对称性，直线 $AB$ 与曲线 $y=f(x)$ 的公共点为 $A,B,M$，其中 $M$ 为三次函数图象的中心 $(-1,f(-1))$ 即 $\left(-1,-\dfrac 13(a-2)\right)$，也即 $A,B$ 的中点．

若 $M$ 在 $x$ 轴上，则 $a=2$；

若 $A$ 或 $B$ 在 $x$ 轴上，注意到函数 $f(x)$ 的图象过原点，因此函数 $f(x)$ 的解析式或者包含因式 $x^2$（此时 $x=0$ 为极值点），或者为 $x$ 与某完全平方式的乘积（此时 $x=0$ 不为极值点），因此 $a=0$ 或 $a=\dfrac 94$．

综上所述，$a$ 的值为 $0,2,\dfrac 94$．