每日一题[2867]数列的单调性与有界性

已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=a_{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt{n}} a_{n+1}^2$，则下列正确的是（       ）

A．$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}>\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

B．数列 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 是递减数列

C．数列 $\left\{a_{n+1}+a_n\right\}$ 是递增数列

D．$a_{n+1}>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

答案    D．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，有

$$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt n}a_{n+1}^2}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt n}}{1+\dfrac{1}{\sqrt n}a_{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt n},$$

对于选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$，有

$$a_{n+1}-a_n=-\dfrac{1}{\sqrt{n}}a_{n+1}^2,\quad a_{n+1}+a_n=2a_{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt n}a_{n+1}^2,$$ 于是 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 为负项数列，从而 $\{a_n\}$ 递减，进而 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 递增，而 $\{a_{n+1}+a_n\}$ 递减，选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 错误．

对于选项 $\boxed{D}$，根据对选项 $\boxed{A}$ 的分析，有

$$\dfrac{1}{a_{n+1}}<\dfrac{1}{a_1}+\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt k}\leqslant 1+1+\sum_{k=2}^n\dfrac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2\sqrt n,$$ 因此 $$a_{n+1}>\dfrac{1}{2\sqrt n}>\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\sqrt{n+1}-\sqrt n,$$ 因此选项 $\boxed{D}$ 正确．

综上所述，选项 $\boxed{D}$ 符合题意．