每日一题[2867]数列的单调性与有界性

已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$,$a_n=a_{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt{n}} a_{n+1}^2$,则下列正确的是(       )

A.$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}>\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

B.数列 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 是递减数列

C.数列 $\left\{a_{n+1}+a_n\right\}$ 是递增数列

D.$a_{n+1}>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

答案    D.

解析    对于选项 $\boxed{A}$,有\[\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt n}a_{n+1}^2}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt n}}{1+\dfrac{1}{\sqrt n}a_{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt n},\]

对于选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$,有\[a_{n+1}-a_n=-\dfrac{1}{\sqrt{n}}a_{n+1}^2,\quad a_{n+1}+a_n=2a_{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt n}a_{n+1}^2,\]于是 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 为负项数列,从而 $\{a_n\}$ 递减,进而 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 递增,而 $\{a_{n+1}+a_n\}$ 递减,选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 错误.

对于选项 $\boxed{D}$,根据对选项 $\boxed{A}$ 的分析,有\[\dfrac{1}{a_{n+1}}<\dfrac{1}{a_1}+\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt k}\leqslant 1+1+\sum_{k=2}^n\dfrac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2\sqrt n,\]因此\[a_{n+1}>\dfrac{1}{2\sqrt n}>\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\sqrt{n+1}-\sqrt n,\]因此选项 $\boxed{D}$ 正确.

综上所述,选项 $\boxed{D}$ 符合题意.

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每日一题[2867]数列的单调性与有界性》有5条回应

  1. rodes说:

    请问倒数第二行关于求和的不等式是怎么来的

  2. louxin2020说:

    这回好了!

  3. louxin2020说:

    最后一个不等号方向不对吧?

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