每日一题[2866]左右夹逼

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x(x+1)^2$,令 $f_1(x)=f^{\prime}(x) $,$f_{n+1}(x)=f_n^{\prime}(x)$,若 $f_n(x)=\mathrm{e}^x\left(a_n x^2+b_n x+c_n\right)$,记数列 $\left\{\dfrac{2 a_n}{2 c_n-b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$,则下列选项中与 $S_{2019}$ 的值最接近的是(       )

A.$\dfrac{3}{2}$

B.$\dfrac{5}{3}$

C.$\dfrac{7}{4}$

D.$\dfrac{9}{5}$

答案    B.

解析    根据题意,有\[f_{n+1}(x)=f'_n(x)={\rm e}^x\left(a_nx^2+b_nx+c_n+2a_nx+b_n\right),\]因此\[\begin{cases} a_{n+1}=a_n,\\ b_{n+1}=2a_n+b_n,\\ c_{n+1}=c_n+b_n,\end{cases}\]结合 $a_1=1$,$b_1=2$,$c_1=1$,可得\[\begin{cases} a_n=1,\\ b_n=2n+2,\\ c_n=n^2+n+1,\end{cases}\implies \dfrac{2a_n}{2c_n-b_n}=\dfrac{1}{n^2},\]

由于当 $n\geqslant 3$ 时,有\[\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}<1+\dfrac 14+\sum_{k=3}^n\left(\dfrac{1}{k-\frac 12}-\dfrac{1}{k+\frac 12}\right)<1+\dfrac 14+\dfrac{1}{3-\frac 12}=\dfrac{33}{20}=1.65,\]

另一方面,有\[\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}>1+\dfrac 14+\dfrac 19+\sum_{k=4}^n\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)=\dfrac{29}{18}-\dfrac{1}{n+1},\]于是\[S_{2019}>\dfrac{29}{18}-\dfrac{1}{2020}>1.6,\]因此 $S_{2019}=1.6\cdots$,最接近 $\dfrac 53=1.66\cdots$.

备注    事实上,有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}6=1.6449\cdots$.

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