每日一题[2866]左右夹逼

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x(x+1)^2$，令 $f_1(x)=f^{\prime}(x)$，$f_{n+1}(x)=f_n^{\prime}(x)$，若 $f_n(x)=\mathrm{e}^x\left(a_n x^2+b_n x+c_n\right)$，记数列 $\left\{\dfrac{2 a_n}{2 c_n-b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则下列选项中与 $S_{2019}$ 的值最接近的是（       ）

A．$\dfrac{3}{2}$

B．$\dfrac{5}{3}$

C．$\dfrac{7}{4}$

D．$\dfrac{9}{5}$

答案    B．

解析    根据题意，有 $$f_{n+1}(x)=f'_n(x)={\rm e}^x\left(a_nx^2+b_nx+c_n+2a_nx+b_n\right),$$ 因此 $$\begin{cases} a_{n+1}=a_n,\\ b_{n+1}=2a_n+b_n,\\ c_{n+1}=c_n+b_n,\end{cases}$$ 结合 $a_1=1$，$b_1=2$，$c_1=1$，可得 $$\begin{cases} a_n=1,\\ b_n=2n+2,\\ c_n=n^2+n+1,\end{cases}\implies \dfrac{2a_n}{2c_n-b_n}=\dfrac{1}{n^2},$$

由于当 $n\geqslant 3$ 时，有 $$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}<1+\dfrac 14+\sum_{k=3}^n\left(\dfrac{1}{k-\frac 12}-\dfrac{1}{k+\frac 12}\right)<1+\dfrac 14+\dfrac{1}{3-\frac 12}=\dfrac{33}{20}=1.65,$$

另一方面，有 $$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}>1+\dfrac 14+\dfrac 19+\sum_{k=4}^n\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)=\dfrac{29}{18}-\dfrac{1}{n+1},$$ 于是 $$S_{2019}>\dfrac{29}{18}-\dfrac{1}{2020}>1.6,$$ 因此 $S_{2019}=1.6\cdots$，最接近 $\dfrac 53=1.66\cdots$．

备注    事实上，有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}6=1.6449\cdots$．