1、证明:当 x∈[0,1] 时,√22x⩽sinx⩽x.
2、若不等式 ax+x2+x32+2(x+2)cosx⩽4 对 x∈[0,1] 恒成立,求实数 a 的取值范围.
解析
1、本题考查利用导数证明函数不等式,通过导数将不等式问题转化为最值问题是解决问题的关键.
记 f(x)=sinx−√22x,g(x)=x−sinx,则其导函数f′(x)=cosx−√22,g(x)=1−cosx,
因此函数 f(x) 在 [0,π4) 上单调递增,在 (π4,1] 上单调递减;g(x) 在 [0,1] 上单调递增,又 f(0)=0,g(0)=0,且f(1)=sin1−√22>sinπ4−√22=0,
因此当 x∈[0,1] 时,f(x)⩾0 且 g(x)⩾0,命题得证.
2、本题考查不等式的恒成立问题,利用端点分析得到讨论分界点,然后根据第 (1) 小题的结论对函数进行恰当化简是解决问题的关键.
设 h(x)=ax+x2+x32+2(x+2)cosx−4,则 h(0)=0,其导函数h′(x)=a+2x+32x2−2(x+2)sinx+2cosx,
有 h′(0)=a+2,讨论分界点为 a=−2.
情形一 a>−2.此时h(x)=(a+2)x+x2+x32−4(x+2)sin2x2,
根据第 (1) 小题的结论,在 x∈[0,1] 上,有4sin2x2⩽4(x2)2=x2,
于是h(x)⩾(a+2)x+x2+x32−(x+2)x2=32x(2(a+2)3−x),
因此当 x∈(0,2(a+2)3) 时,有 h(x)>0,不符合题意.
情形二 a⩽−2.此时根据第 (2) 小题的结论,有h(x)⩽(a+2)x+x2+x32−4(x+2)⋅(√24)2=(a+2)x⩽0,
符合题意.
综上所述,实数 a 的取值范围是 (−∞,−2].