每日一题[2835]多项式逼近

1、证明：当 $x \in \left[0,1\right]$ 时，$\dfrac{\sqrt 2 }{2}x \leqslant \sin x \leqslant x$．

2、若不等式 $ax + {x^2} + \dfrac{x^3}{2} + 2\left(x + 2\right)\cos x \leqslant 4$ 对 $x \in \left[0,1\right]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、本题考查利用导数证明函数不等式，通过导数将不等式问题转化为最值问题是解决问题的关键．

记 $f(x)=\sin x-\dfrac{\sqrt 2}2x$，$g(x)=x-\sin x$，则其导函数 $$f'(x)=\cos x-\dfrac{\sqrt 2}2,\quad g(x)=1-\cos x,$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{\pi}4,1\right]$ 上单调递减；$g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，又 $f(0)=0$，$g(0)=0$，且 $$f(1)=\sin 1-\dfrac{\sqrt 2}2>\sin\dfrac{\pi}4-\dfrac{\sqrt 2}2=0,$$ 因此当 $x\in [0,1]$ 时，$f(x)\geqslant 0$ 且 $g(x)\geqslant 0$，命题得证．

2、本题考查不等式的恒成立问题，利用端点分析得到讨论分界点，然后根据第 $(1)$ 小题的结论对函数进行恰当化简是解决问题的关键．

设 $h(x)=ax+x^2+\dfrac{x^3}2+2(x+2)\cos x-4$，则 $h(0)=0$，其导函数 $$h'(x)=a+2x+\dfrac 32x^2-2(x+2)\sin x+2\cos x,$$ 有 $h'(0)=a+2$，讨论分界点为 $a=-2$．

情形一     $a>-2$．此时 $$h(x)=(a+2)x+x^2+\dfrac{x^3}2-4(x+2)\sin^2\dfrac x2,$$ 根据第 $(1)$ 小题的结论，在 $x\in [0,1]$ 上，有 $$4\sin^2\dfrac x2\leqslant 4\left(\dfrac x2\right)^2=x^2,$$ 于是 $$h(x)\geqslant (a+2)x+x^2+\dfrac{x^3}2-(x+2)x^2=\dfrac 32x\left(\dfrac{2(a+2)}3-x\right),$$ 因此当 $x\in\left(0,\dfrac{2(a+2)}3\right)$ 时，有 $h(x)>0$，不符合题意．

情形二     $a\leqslant -2$．此时根据第 $(2)$ 小题的结论，有 $$\begin{split} h(x)&\leqslant (a+2)x+x^2+\dfrac{x^3}2-4(x+2)\cdot \left(\dfrac{\sqrt 2}4\right)^2\\ &=(a+2)x\\ &\leqslant 0,\end{split}$$ 符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-2\right]$．