每日一题[2835]多项式逼近

1、证明:当 x[0,1] 时,22xsinxx

2、若不等式 ax+x2+x32+2(x+2)cosx4x[0,1] 恒成立,求实数 a 的取值范围.

解析

1、本题考查利用导数证明函数不等式,通过导数将不等式问题转化为最值问题是解决问题的关键.

f(x)=sinx22xg(x)=xsinx,则其导函数f(x)=cosx22,g(x)=1cosx,

因此函数 f(x)[0,π4) 上单调递增,在 (π4,1] 上单调递减;g(x)[0,1] 上单调递增,又 f(0)=0g(0)=0,且f(1)=sin122>sinπ422=0,
因此当 x[0,1] 时,f(x)0g(x)0,命题得证.

2、本题考查不等式的恒成立问题,利用端点分析得到讨论分界点,然后根据第 (1) 小题的结论对函数进行恰当化简是解决问题的关键.

h(x)=ax+x2+x32+2(x+2)cosx4,则 h(0)=0,其导函数h(x)=a+2x+32x22(x+2)sinx+2cosx,

h(0)=a+2,讨论分界点为 a=2

情形一     a>2.此时h(x)=(a+2)x+x2+x324(x+2)sin2x2,

根据第 (1) 小题的结论,在 x[0,1] 上,有4sin2x24(x2)2=x2,
于是h(x)(a+2)x+x2+x32(x+2)x2=32x(2(a+2)3x),
因此当 x(0,2(a+2)3) 时,有 h(x)>0,不符合题意.

情形二     a2.此时根据第 (2) 小题的结论,有h(x)(a+2)x+x2+x324(x+2)(24)2=(a+2)x0,

符合题意.

综上所述,实数 a 的取值范围是 (,2]

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