每日一题[2834]端点分析

已知函数 $f\left( x \right) = \left( {1 + x} \right){{\mathrm{e}}^{ - 2x}}$，$g\left( x \right) = ax + \dfrac{x^3}{2} + 1 + 2x\cos x$，

1、当 $x \in \left[ {0,1} \right]$ 时， 求证：$1 - x \leqslant f\left( x \right) \leqslant \dfrac{1}{1 + x}$．

2、若 $f\left( x \right) \geqslant g\left( x \right)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、本题考查利用导数证明函数不等式，用分析法转化为指对数的常用放缩即可．

欲证结论为 $$\forall x\in [0,1],~1-x\leqslant \dfrac{1+x}{{\rm e}^{2x}}\leqslant \dfrac{1}{1+x},$$ 即 $$\forall x\in[0,1],~1+x\leqslant {\rm e}^x\leqslant \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}},$$ 左侧为我们熟知的不等式．对于右侧，令 $x=\ln t$，则右侧不等式等价于 $$\forall t\in [1,{\rm e}],~t^2\leqslant \dfrac{1+\ln t}{1-\ln t},$$ 也即 $$\forall t\in [1,{\rm e}],~\ln t^2\geqslant \dfrac{2\left(t^2-1\right)}{t^2+1},$$ 亦为我们熟知的不等式．

2、本题考查不等式的恒成立问题，利用端点分析得到必要条件，然后展开分类论证即可．

令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h(0)=0$，且其导函数 $$h'(x)={\rm e}^{-2x}\cdot (2x-1)-\dfrac 32x^2-a-2\cos x+2x\sin x,$$ 有 $$h'(0)=-a-3,$$ 于是得到讨论分界点 $a=-3$． 容易证明 $$\forall x\in [0,1],1-\dfrac 12x^2\leqslant \cos x\leqslant 1-\dfrac 12x^2+\dfrac{1}{24}x^4.$$

情形一     当 $a>-3$ 时，考虑到 $$h(x)\leqslant \dfrac{1}{1+x}-ax-\dfrac 12{x^3}-1-2x\left(1-\dfrac 12x^2\right),$$ 也即 $$h(x)\leqslant \dfrac{x}{2(x+1)}\cdot \left[x^3+2x^2-(2a+4)x-2a-6\right].$$ 而当 $x\in [0,1]$ 时，有 $$x^3+2x^2-(2a+4)x-2a-6\leqslant -(2a+1)x-2a-6,$$ 于是 $$\begin{split}\min_{0\leqslant x\leqslant 1}\{h(x)\}&\leqslant \min_{0\leqslant x\leqslant 1}\left\{x^3+2x^2-(2a+4)x-2a-6\right\}\\ &\leqslant \min_{0\leqslant x\leqslant 1}\left\{-(2a+1)x-2a-6\right\}\\ &\leqslant -2a-6\\ &<0,\end{split}$$ 不符合题意．

情形二    当 $a\leqslant -3$ 时，有 $$\begin{split} h(x)&\geqslant 1-x-(-3)\cdot x-\dfrac 12x^3-1-2x\left(1-\dfrac 12x^2+\dfrac 1{24}x^4\right)\\ &=-\dfrac{1}{12}x^3\left(x^2-6\right)\\ &\geqslant 0,\end{split}$$ 符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left( { - \infty , - 3} \right]$．