每日一题[2792]格点多边形

在平面直角坐标系中，若点 $P\left(x,y\right)$ 的坐标 $x,y$ 均为整数，则称点 $P$ 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为 $S$，其内部的格点数记为 $N$，边界上的格点数记为 $L$．例如图中 $\triangle ABC$ 是格点三角形，对应的 $S = 1$，$N = 0$，$L = 4$．

① 图中格点四边形 $DEFG$ 对应的 $S,N,L$ 分别是_______；

② 已知格点多边形的面积可表示为 $S = aN + bL + c$，其中 $a,b,c$ 为常数．若某格点多边形对应的 $N = 71$，$L = 18$，则 $S =$_______（用数值作答）．

答案    ① $3$，$1$，$6$；② $79$．

解析    本题考查对新定义的理解，按照定义求解即可．

① 由图可知，四边形 $DEFG$ 是直角梯形，高为 $\sqrt 2$，下底为 $2\sqrt 2$，上底为 $\sqrt 2$，所以梯形面积

$$S = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + 2\sqrt 2 } \right) \times \sqrt 2 }}{2} = 3,$$ 进而 $N = 1$，$L = 6$．

② 取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积 $S = 4$，$N = 1$，$L = 8$，结合 $\triangle ABC$ 和四边形 $DEFG$ 的情形，可列方程组

$$\begin{cases} 4b + c = 1, \\ a + 6b + c = 3, \\ a + 8b + c = 4, \\ \end{cases}\iff \begin{cases} a = 1, \\ b = \dfrac{1}{2}, \\ c = - 1, \\ \end{cases},$$ 故 $$S(N,L)=N+\dfrac 12L-1\implies S(71,18) = 1 \times 71 + \dfrac{1}{2} \times 18 - 1 = 79.$$