每日一题[2744]共轭三角

已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，其面积为 $\dfrac{c}{2}(a-b)$，其外接圆半径 $R=2$，且

$$4\left(\sin ^{2} A-\sin ^{2} B\right)=\left(\sqrt{3} a-b\right) \sin B,$$ 则 $\sin \dfrac{A-B}{2}+\sin \dfrac{C}{2}=$ （       ）

A．$\dfrac {\sqrt 2}2$

B．$\dfrac {\sqrt 3}2$

C．$1$

D．前三个答案都不对

答案    C．

解析    根据正弦定理，有

$$4\left(\dfrac{a^2}{4R^2}-\dfrac{b^2}{4R^2}\right)=\left(\sqrt 3a-b\right)\cdot \dfrac a{2R}\iff a=\sqrt 3b.$$ 又 $\triangle ABC$ 的面积 $$\dfrac 12bc\sin A=\dfrac c2(a-b)\implies \sin A=\sqrt 3-1,$$ 而 $$\begin{split} \sin\dfrac{A-B}2+\sin\dfrac C2&=2\sin\dfrac{A-B+C}4\cos\dfrac{A-B-C}4\\ &=2\sin\dfrac{\pi-2B}{4}\cos\dfrac{\pi-2A}4\\ &=2\sqrt{\dfrac{1-\cos\dfrac{\pi-2B}2}2\cdot \dfrac{1-\cos\dfrac{\pi-2A}2}2}\\ &=\sqrt{(1-\sin A)(1-\sin B)}\\ &=\sqrt{(1-\sin A)\left(1-\dfrac{\sin A}{\sqrt 3}\right)}\\ &=1.\end{split}$$