每日一题[2708]代数变形

对于 $n \geqslant 1$，令 $a_{n}=\sqrt{100+\sqrt{n}}$，$b_{n}=\sqrt{100-\sqrt{n}}$，设数列 $\left\{a_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ 的 前 $9999$ 项之和分别为 $A$ 和 $B$，则 $\dfrac{A}{B}$ 的值为（       ）

A．$2 \sqrt{2}$

B．$\sqrt{10}-1$

C．$\sqrt{10}-\sqrt{2}$

D．前三个答案都不对

答案    D．

解法一    记 $k=100$，则

$$\begin{split} \dfrac{a_n+a_{k^2-n}}{b_n+b_{k^2-n}}&= \dfrac{\sqrt{k+\sqrt n}+\sqrt{k+\sqrt{k^2-n}}}{\sqrt{k-\sqrt n}+\sqrt{k-\sqrt{k^2-n}}}\\ &=\dfrac{\left(\sqrt{k+\sqrt n}+\sqrt{k+\sqrt{k^2-n}}\right)\left(\sqrt{k-\sqrt n}-\sqrt{k-\sqrt{k^2-n}}\right)}{\sqrt{k^2-n}-\sqrt n}\\ &=\dfrac{\sqrt{k^2-n}-\sqrt n+\sqrt{\left(k-\sqrt n\right)\left(k+\sqrt{k^2-n}\right)}-\sqrt{\left(k+\sqrt n\right)\left(k-\sqrt{k^2-n}\right)}}{\sqrt{k^2-n}-\sqrt n}\\ &=1+\dfrac{2k\left(\sqrt{k^2-n}-\sqrt n\right)}{\left(\sqrt{k^2-n}-\sqrt n\right)\left(\sqrt{\left(k-\sqrt n\right)\left(k+\sqrt{k^2-n}\right)}+\sqrt{\left(k+\sqrt n\right)\left(k-\sqrt{k^2-n}\right)}\right)}\\ &=1+\dfrac{2k}{\sqrt{2k^2-2\sqrt n\cdot \sqrt{k^2-n}+2\sqrt{\left(k^2-n\right)n}}}\\ &=1+\sqrt 2,\end{split}$$ 因此 $$\dfrac AB=\sum_{n=1}^{9999}\dfrac{a_n+a_{k^2-n}}{b_n+b_{k^2-n}}=1+\sqrt 2.$$

解法二    设

$$f(x)=\int \sqrt{100+\sqrt x}{ {\rm d}} x=\dfrac 4{15}\left(100+\sqrt x\right)^{\frac 32}\left(3\sqrt x-200\right),$$ 且 $$g(x)=\int \sqrt{100-\sqrt x}{ {\rm d}} x=-\dfrac 4{15}\left(100-\sqrt x\right)^{\frac 32}\left(3\sqrt x+200\right),$$ 则 $$f(x)\Bigg|_{0}^{10000}-f(10000)<A<f(x)\Bigg|_{0}^{10000}\implies \dfrac{160000\left(1+\sqrt 2\right)}{3}-10\sqrt 2<A<\dfrac{160000\left(1+\sqrt 2\right)}{3},$$ 且 $$g(x)\Bigg|_{0}^{10000}-g(0)<B<g(x)\Bigg|_{0}^{10000}\implies \dfrac{160000}3-10<B<\dfrac{160000}3,$$ 从而 $$1+\sqrt 2-\dfrac{3\sqrt 2}{16000}<\dfrac{A}{B}<\dfrac{1+\sqrt 2}{1-\dfrac{3}{16000}}\implies 2.4<\dfrac AB<2.5,$$ 而 $2\sqrt 2=2.8\cdots$，$\sqrt{10}-1=2.1\cdots$，$\sqrt{10}-\sqrt 2=1.7\cdots$，因此选项 $\boxed{D}$ 正确．