每日一题[2709]分类计数

满足 $1 \leqslant x \leqslant y \leqslant z \leqslant 20$ 且 $x+y+z$ 为 $20$ 的倍数的正整数组 $(x, y, z)$ 的个数为(       )

A.$400$

B.$190$

C.$77$

D.前三个答案都不对

答案    C.

解析    根据题意,有 $3\leqslant x+y+z\leqslant 60$,于是 $x+y+z=20,40,60$.

情形一     $x+y+z=20$.不考虑 $x\leqslant y\leqslant z$,则满足 $x+y+z=20$ 的整数解个数为 $\dbinom{19}2=171$,其中形如 $m+m+n=20$ 的有 $9\cdot 3=27$ 组,形如 $p+q+r$ 的有 $171-27=144$ 组,因此满足 $x\leqslant y\leqslant z$ 的正整数解 $(x,y,z)$ 组数为\[9+\dfrac{144}{3!}=33.\]

情形二     $x+y+z=40$.由\[40=x+y+z\leqslant 3z\implies z\geqslant 14,\]按 $z=14,15,\cdots,20$ 列举可得正整数解组数为\[2+3+4+5+7+9+11=43.\]

情形三     $x+y+z=60$.此时 $(x,y,z)=(20,20,20)$,有一组解.

综上所述,所求正整数组 $(x,y,z)$ 的个数为 $33+43+1=77$.

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