每日一题[2702]复数方程

a,b 是非零复数,z1,z2 是方程 x2+ax+b=0 的两个复根.若 |z1+z2|=|z1|+|z2|,则(       )

A.存在正实数 λ 使得 z2=λz1

B.b 是正实数

C.存在实数 μ4,使得 a2=μb

D.存在正实数 v,使得 a=vz1

答案    AC.

解析    根据题意,有 z1+z2=az1z2=b.由于|z1+z2||z1|+|z2|,等号当且仅当 z1z2 同向时取得,因此存在正实数 λ,使得 z2=λz1,选项 A 正确; 设 z2=λz1λ>0),则{(1+λ)z1=a,λz21=b,b=1a=2i,则 z1=z2=i,选项 B 错误,选项 C 正确; 由 a=(1+λ)z1 可得复数 az1 反向,因此选项 D 错误. 综上所述,选项 A C 正确.

备注    若 a2=μb,则(1+λ)2z21=λμz21μ=λ+1λ+2,因此 μ4

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