每日一题[2702]复数方程

设 $a, b$ 是非零复数，$z_{1}, z_{2}$ 是方程 $x^{2}+a x+b=0$ 的两个复根．若 $\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$，则（       ）

A．存在正实数 $\lambda$ 使得 $z_{2}=\lambda z_{1}$

B．$b$ 是正实数

C．存在实数 $\mu \geqslant 4$，使得 $a^{2}=\mu b$

D．存在正实数 $v$，使得 $a=v z_{1}$

答案    AC．

解析    根据题意，有 $z_1+z_2=-a$，$z_1\cdot z_2=b$．由于

$$|z_1+z_2|\leqslant |z_1|+|z_2|,$$ 等号当且仅当 $z_1$ 与 $z_2$ 同向时取得，因此存在正实数 $\lambda$，使得 $z_2=\lambda z_1$，选项 $\boxed{A}$ 正确； 设 $z_2=\lambda z_1$（$\lambda>0$），则 $$\begin{cases} (1+\lambda)z_1=-a,\\ \lambda z_1^2=b,\end{cases}$$ 取 $b=-1$，$a=-2{\rm i}$，则 $z_1=z_2={\rm i}$，选项 $\boxed{B}$ 错误，选项 $\boxed{C}$ 正确； 由 $a=-(1+\lambda)z_1$ 可得复数 $a$ 与 $z_1$ 反向，因此选项 $\boxed{D}$ 错误． 综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ 正确．

备注    若 $a^2=\mu b$，则

$$(1+\lambda)^2z_1^2=\lambda\mu z_1^2\implies \mu=\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2,$$ 因此 $\mu \geqslant 4$．