设 a,b 是非零复数,z1,z2 是方程 x2+ax+b=0 的两个复根.若 |z1+z2|=|z1|+|z2|,则( )
A.存在正实数 λ 使得 z2=λz1
B.b 是正实数
C.存在实数 μ⩾4,使得 a2=μb
D.存在正实数 v,使得 a=vz1
答案 AC.
解析 根据题意,有 z1+z2=−a,z1⋅z2=b.由于|z1+z2|⩽|z1|+|z2|,等号当且仅当 z1 与 z2 同向时取得,因此存在正实数 λ,使得 z2=λz1,选项 A 正确; 设 z2=λz1(λ>0),则{(1+λ)z1=−a,λz21=b,取 b=−1,a=−2i,则 z1=z2=i,选项 B 错误,选项 C 正确; 由 a=−(1+λ)z1 可得复数 a 与 z1 反向,因此选项 D 错误. 综上所述,选项 A C 正确.
备注 若 a2=μb,则(1+λ)2z21=λμz21⟹μ=λ+1λ+2,因此 μ⩾4.