每日一题[2703]高次复方程

设 $n$ 是大于 $1$ 的整数.已知模长为 $1$ 的复数 $z$ 满足 $z^{n}+z+1=0$,则如下断言正确的有(       )

A.$|z+1|=1$

B.$z$ 的实数部分为 $-\dfrac{1}{2}$

C.$n-2$ 是 $3$ 的倍数

D.满足条件的 $z$ 是唯一的

答案    ABC.

解析    根据题意,有\[z+1=-z^n\implies |z+1|=\left|-z^n\right|\implies |z+1|=1,\]选项 $\boxed{A}$ 正确;

设 $z=(\theta:1)$,则\[(n\theta:1)+(\theta:1)+1=0\implies \begin{cases} \sin(n\theta)+\sin\theta=0,\\ \cos(n\theta)+\cos\theta=1,\end{cases}\]由第一个条件可得\[n\theta=2k\pi-\theta\lor n\theta=(2k+1)\pi+\theta,\]其中 $k\in\mathbb Z$,代入第二个条件可得 $n\theta=2k\pi-\theta$($k\in\mathbb Z$),且 $\cos\theta=-\dfrac 12$,选项 $\boxed{B}$ 正确;

进而可得\[n+1=\dfrac{2k\pi}{\theta}\implies n+1=\dfrac{2k\pi}{2k_0\pi\pm\dfrac{2\pi}3},\]也即\[n+1=\dfrac{3k}{3k_0\pm 1},\]其中 $k,k_0\in\mathbb Z$,注意到 $(3k,3k_0\pm 1)=1$,于是 $k_0=0$,因此 $n+1$ 是 $3$ 的倍数,进而 $n-2$ 是 $3$ 的倍数,选项 $\boxed{C}$ 正确,选项 $\boxed{D}$ 错误.

综上所述,选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确.

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