每日一题[2697]构造状态量

已知函数 $f(x)=\begin{cases} x^{2} \mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x \ln x, & x>0,\end{cases}$ 若 $f(x)=f(y)$（$x \neq y$），则下列结论可能成立的是（       ）

A．$x+y<-4$

B．$x+y=0$

C．$x+y>\dfrac{2}{\mathrm{e}}$

D．$x+y=2$

答案    ABC．

解析    根据题意，有

$$f'(x)=\begin{cases} x(x+2){\rm e}^x,&x< 0,\\ 1+\ln x,&x>0,\end{cases}$$ 进而可得 $$\begin{array}{c|ccccccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,-2)&-2&(-2,0)&0&\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)&\dfrac{1}{\rm e}&\left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)&+\infty \\ \hline f(x)&0&\nearrow&\dfrac{4}{{\rm e}^2}&\searrow&0&\searrow&-\dfrac{1}{\rm e}&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}$$ 设 $f(x)=f(y)=t$（$x<y$），则

对于 $\boxed{A}$，当 $t\to 0+$ 时，$x+y\to -\infty$，于是 $x+y<-4$ 可能成立；

对于 $\boxed{B}$，当 $t= 0$ 时，$x=0$，$y=1$，于是 $x+y>\dfrac{2}{\rm e}$ 可能成立；

对于 $\boxed{C}$，考虑当 $t$ 从 $0$ 变化到 $\dfrac{4}{{\rm e}^2}$ 的过程，此时 $x$ 从 $0$ 变化到 $-2$，$y$ 从 $1$ 变化到 $m$，其中

$$m\ln m=\dfrac{4}{{\rm e}^2},$$ 有 $m<2$，从而 $x+y$ 可以取得 $0+1$ 到 $-2+m$ 中的所有值，其中包括 $0$，因此 $x+y=0$ 可能成立；

对于 $\boxed{D}$，若 $x+y=2$，由于当 $x\geqslant 0$ 时，$t\in\left(-\dfrac{1}{\rm e},0\right]$，于是 $x,y\in [0,1]$，从而 $x+y<2$；而当 $x<0$ 时，有 $y>2$，此时

$$t=y\ln y>2\ln 2>1>\dfrac{4}{{\rm e}^2},$$ 因此不存在 $x<0$ 使得 $f(x)=t$，因此 $x+y=2$ 不可能成立；

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确．