每日一题[2688]同构函数

已知函数 $f(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right) \ln x$．

1、求证：函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

2、若 $\dfrac{2 f(x)-m}{\mathrm{e}^{m x}} \leqslant m$ 对 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{(x^2-1)\ln x+(x^2+1)}{x^2},$$ 注意到 $x^2-1$ 与 $\ln x$ 同号，因此当 $x>0$ 时，有 $f'(x)\geqslant 0$，因此函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

2、题中不等式即 $$2\left(x+\dfrac 1x\right)\ln x-m\leqslant m{\rm e}^{mx}\iff mx\left({\rm e}^{mx}+1\right)\geqslant \left(x^2+1\right)\ln x^2,$$ 设 $g(x)=(x+1)\ln x$，则上述不等式即 $$g\left({\rm e}^{mx}\right)\geqslant g\left(x^2\right).$$ 函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=1+\ln x+\dfrac 1x>0,$$ 因此 $g(x)$ 单调递增，因此 $$g\left({\rm e}^{mx}\right)\geqslant g\left(x^2\right)\iff {\rm e}^{mx}\geqslant x^2\iff m\geqslant \dfrac{2\ln x}{x},$$ 设 $h(x)=\dfrac{2\ln x}{x}$，则 $h(x)$ 的导函数为 $$h'(x)=\dfrac{2(1-\ln x)}{x},$$ 因此 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&0+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline h(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac2{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}$$ 因此实数 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{2}{\rm e},+\infty\right)$．