每日一题[2683]韦达定理

在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，已知 $(a+b)(\sin A-\sin B)=c(\sin C+\sin B)$，若角 $A$ 的内角平分线 $A D$ 的长为 $2$，则 $4 b+c$ 的最小值为（       ）

A．$10$

B．$12$

C．$16$

D．$18$

答案    D．

解析    根据正弦定理，有 $$(a+b)(a-b)=c(c+b)\iff \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\dfrac 12,$$ 于是由余弦定理可得 $A=120^\circ$．设 $CD=bt$，$BD=ct$，则在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle ABD$ 中分别应用余弦定理可得 $$\begin{cases} (bt)^2=b^2+4-2b,\\ (ct)^2=c^2+4-2c,\end{cases}$$ 于是 $b,c$ 是关于 $x$ 的方程 $$t^2x^2=x^2+4-2x$$ 的两根，因此 $$\dfrac{b+c}{bc}=\dfrac{2}{4}\iff \dfrac 1b+\dfrac 1c=\dfrac 12,$$ 从而 $$4b+c\geqslant \dfrac{(2+1)^2}{\dfrac 1b+\dfrac 1c}=18,$$ 等号当 $b:c=1:2$ 时取得，因此所求最小值为 $18$．