每日一题[2663]周期延拓

已知 $f(x), g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的两个函数，其中 $f(x)$ 是奇函数，$f(2-x)=f(x)$，$g(2+x)=$ $g(x)$．当 $x \in(0,2]$ 时，$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^{2}}$，$g(x)=\begin{cases} k(x+1),& 0<x \leqslant 1, \\ -\dfrac{1}{2}, &1<x \leqslant 2.\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=$ $g(x)$ 在区间 $(0,5]$ 上有 $5$ 个不同的实数解，则实数 $k$ 的取值范围为_______．

答案    $\left[\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}3\right)$．

解析    如图，关于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 在区间 $(1,2]$ 上没有实数根，在区间 $(3,4]$ 上有 $1$ 个实数根，因此在区间 $(0,1],(4,5]$ 上的实数根个数均为 $2$．

考虑直线 $y=k(x+1)$ 与曲线 $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$（$0<x\leqslant 1$）（即圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 的四分之一圆弧）的位置关系，当直线 $y=k(x+1)$ 过点 $(1,1)$ 时，其斜率 $k=\dfrac 12$；当直线 $y=k(x+1)$ 与曲线 $y=\sqrt{1-(x-1)^2}$（$0<x\leqslant 1$）相切时，其斜率 $k$ 满足 $$k^2+1-4k^2=0\iff k=\dfrac{\sqrt 3}3,$$ 因此所求实数 $k$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}3\right)$