每日一题[2655]端点分析

若不等式 $\mathrm{e}^{x}-a \ln (a x-1)+1 \geqslant 0$ 对任意 $x\in\left[\dfrac{1}{2}, 1\right]$ 恒成立（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数），则实数 $a$ 的最大值为（       ）

A．$\mathrm{e}+1$

B．${\rm e}$

C．${\rm e}^{2}+1$

D．$\mathrm{e}^{2}$

答案    A

解析    记不等式左侧函数为 $f(x)$．令 $x=1$，可得 $${\rm e}-a\ln(a-1)+1\geqslant 0\implies a\ln(a-1)\leqslant {\rm e}+1,$$ 于是 $a\leqslant {\rm e}+1$． 当 $a={\rm e}+1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-({\rm e}+1)\cdot \dfrac{{\rm e}+1}{({\rm e}+1)x-1},$$ 该函数在 $\left[\dfrac 12,1\right]$ 上单调递增，而 $$f'(1)={\rm e}-\dfrac{({\rm e}+1)^2}{{\rm e}}<0,$$ 于是 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac 12,1\right]$ 上单调递减，因此 $a$ 可以取得 ${\rm e}+1$． 综上所述，实数 $a$ 的最大值为 ${\rm e}+1$．