每日一题[2654]天穹

某半球形容器如图 $(1)$ 所示，底面圆的半径为 $2$．往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图 $(2)$ 所示．小球的半径等于_______；若球 $M$ 与这四个小球、半球面都相切，则球 $M$ 的半径等于_______．

答案    $\sqrt 3-1$；$4-2\sqrt 3$．

解析    设四个大小相同的球的球心分别为 $O_1,O_2,O_3,O_4$，半径为 $r$，半球形容器的球心为 $O$，半径为 $R=2$．如图，作截面 $OO_1O_3$，则有 $|O_1O_2|=2\sqrt 2r$，进而

$$|OO_1|=R-r\implies \left(\dfrac 12|O_1O_2|\right)^2+r^2=(R-r)^2\implies r=\dfrac{R}{\sqrt 3+1},$$ 于是 $r=\sqrt 3-1$．

进而，设球 $M$ 的半径为 $m$，则有

$$|O_1M|=r+m\implies (R-r-m)^2+\left(\sqrt 2r\right)^2=(R+r)^2\implies m=4-2\sqrt 3.$$