每日一题[2653]点驱动

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是抛物线 $E: y^{2}=2 p x$（$p>0$）上一点．若点 $M$ 到点 $\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ 的距离、点 $M$ 到 $y$ 轴的距离的等差中项是 $x_{0}+\dfrac{5}{4}$．

1、求抛物线 $E$ 的方程．

2、过点 $A(t, 0)$（$t<0$）作直线 $l$，交以线段 $A O$ 为直径的圆于点 $A, B$，交抛物线 $E$ 于点 $C, D$（点 $B, C$ 在线段 $A D$ 上）．问是否存在 $t$，使点 $B, C$ 恰为线段 $A D$ 的两个三等分点？若存 在，求出 $t$ 的值及直线 $l$ 的斜率；若不存在，请说明理由．

解析

1、根据抛物线的定义，有

$$\left(x_0+\dfrac p2\right)+x_0=2\left(x_0+\dfrac 54\right)\implies p=5,$$ 于是抛物线 $E$ 的方程为 $y^2=10x$．

2、根据题意，设 $B(t+m,n)$，则 $C(t+2m,2n)$，$D(t+3m,3n)$，于是 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BO}=0$，$C,D$ 均在抛物线 $y^2=2px$ 上，因此

$$\begin{cases} n^2+m(t+m)=0,\\ (2n)^2=2p(t+2m),\\ (3n)^2=2p(t+3m),\end{cases}\iff (m,n,t)=\left(2p,\pm \dfrac{2p}{\sqrt 5},-\dfrac{12p}5\right),$$ 此时 $t$ 的值为 $-\dfrac{12p}5=-12$，直线 $l$ 的斜率为 $\dfrac nm=\pm \dfrac{\sqrt 5}5$．