每日一题[2617]基本放缩

已知函数 $f(x)=a {\rm e}^x-{\rm e} x-a$（$a<{\rm e}$）．

1、若函数 $f(x)$ 的极小值为 $-1$，求 $a$ 的值．

2、若 $a=1$，证明：当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)+2 x-x \ln (x+1) \geqslant 0$ 成立．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=a{\rm e}^x-{\rm e},$$ 当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递减，没有极值；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\ln\dfrac{\rm e}a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\ln\dfrac{\rm e}{a},+\infty\right)$ 上单调递增，在 $x=\ln\dfrac{\rm e}a$ 处取得极小值 $f\left(\dfrac{\rm e}a\right)={\rm e}\ln a-a$，若函数 $f(x)$ 的极小值为 $-1$，则 $${\rm e}\ln a-a+1=0,$$ 记函数 $g(x)={\rm e}\ln x-x+1$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{{\rm e}-x}{x},$$ 因此 $g(x)$ 在 $(0,{\rm e})$ 上单调递增，又 $g(1)=0$，因此 $g(x)$ 在 $x\in(0,{\rm e})$ 上有唯一零点 $x=1$，所以实数 $a$ 的值为 $1$．

2、若 $a=1$，则题意即证明 $$\forall x\geqslant 0,~{\rm e}^x+(2-{\rm e})x- x\ln (x+1)-1\geqslant 0,$$ 只需要证明 $$\forall x\geqslant 0,~{\rm e}^x+(2-{\rm e})x- x^2-1\geqslant 0,$$ 设不等式左侧为函数 $h(x)$，则 $h(0)=h(1)=0$，其导函数 $$h'(x)=2-{\rm e}+{\rm e}^x-2x,$$ 其二阶导函数 $$h''(x)={\rm e}^x-2,$$ 于是 $h'(x)$ 在 $(0,\ln 2)$ 上单调递减，在 $(\ln 2,+\infty)$ 上单调递增，而 $h'(0)=3-{\rm e}>0$，$h'(1)=0$，于是 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上先增后减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，结合 $h(0)=h(1)=0$，可得在 $[0,+\infty)$ 上，有 $h(x)\geqslant 0$，命题得证．

备注    也可以通过\[ $$\begin{split} \left({\rm e}^x+(2-{\rm e})x- x\ln (x+1)-1\right)'&=1-{\rm e}+{\rm e}^x+\dfrac1{1+x}-\ln(1+x)\\ &\geqslant 1-{\rm e}+\left(1+x+\dfrac 12x^2\right)+\dfrac1{1+x}-x\\ &=\dfrac 12x^2+\dfrac{1}{1+x}+2-{\rm e}\\ &>0\end{split}$$ \]证明．