每日一题[2616]分离变量

设函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{2} a x^2-b x$，其中 $a, b \in \mathbb R$．

1、若 $b=1-a$，且 $x=1$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．

2、当 $a=0$，$b=-1$ 时，方程 $2 m f(x)=x^2$ 有唯一实数解，求正数 $m$ 的值．

解析

1、若 $b=1-a$，则 $f(x)=\ln x-\dfrac 12x^2+(a-1)x$，其导函数

$$f'(x)=\dfrac1x-ax+(a-1)=\dfrac{-(ax+1)(x-1)}{x},$$ 其二阶导函数 $$f''(x)=-a-\dfrac1{x^2},$$ 从而若 $x=1$ 是 $f(x)$ 的极大值点，则 $$\begin{cases} f'(1)=0,\\ f''(1)<0,\end{cases}\iff -a-1<0,$$ 从而实数 $a$ 的取值范围是 $(-1,+\infty)$．

2、当 $a=0$，$b=-1$ 时，题中方程即

$$2m(\ln x+x)=x^2\iff 2m=\dfrac{x^2}{\ln x+x},$$ 记方程右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x(-1+x+2\ln x)}{(x+\ln x)^2},$$ 设 $r(x)=-1+x+2\ln x$，则 $r(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增且有零点 $x=1$．又 $y=x+\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增且有唯一零点，设为 $m$，则 $m\in(0,1)$，从而 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,m)&m^-&m^+&(m,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&0&\searrow&-\infty&+\infty&\searrow&1&\nearrow&+\infty \\ \hline\end{array}$$ 因此若题中方程有唯一实数解，则 $2m=1$，从而正数 $m$ 的值为 $\dfrac 12$．