每日一题[2614]极值判定

已知 $f(x)=a^2 \ln x-\dfrac{1}{2} a x^2-\left(a^2-a\right) x$（$a \neq 0$）．

1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间．

2、若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=1$ 时，有 $f(x)=\ln x-\dfrac 12x^2$，其导函数 $$f'(x)=\dfrac {(1+x)(1-x)}x,$$ 因此函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,1)$，单调递减区间是 $(1,+\infty)$．

2、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=-\dfrac{a(x+a)(x-1)}{x},$$ 其二阶导函数为 $$f''(x)=-\dfrac{a(a+x^2)}{x^2},$$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，则有 $$\begin{cases} f'(1)=0,\\ f''(1)<0,\end{cases}\iff -a(a+1)<0,$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$．