每日一题[2570]定义与方程

坐标平面上有一边长为 $3$ 个正六边形 $A B C D E F$,其中 $A(3,0)$,$D(-3,0)$,则椭圆 $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{7}=1$ 与正六边形 $A B C D E F$ 有多少个交点?(       )

A.$0$

B.$2$

C.$4$

D.$6$

E.$8$

答案    E.

解析    如图,设 $G$ 为 $\overline{BC}$ 的中点,则只需要考虑折线段 $ABG$(包含 $A$ 但不包含 $G$)与椭圆的公共点个数.连接 $BD$,设 $G$ 的纵坐标为 $y_G$.

注意到 $A,D$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{7}=1$ 的焦点,而\[BA+BD=3+3\sqrt 3>8,\quad y_G=\dfrac{3\sqrt 3}2<\sqrt 7,\]因此 $B$ 在椭圆外部,$G$ 在椭圆内部,因此折线 $ABG$(包含 $A$ 但不包含 $G$)与椭圆的公共点个数为 $2$,进而椭圆 $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{7}=1$ 与正六边形 $A B C D E F$ 的公共点个数为 $8$

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