每日一题[2569]构造图形

已知 $a,b$ 是互质的正整数,满足 $a+b=2005$.用 $[x]$ 表示数 $x$ 的整数部分,并记\[\begin{split} A&=\left[\dfrac{2005\times 1}{a}\right]+\left[\dfrac{2005\times 2}{a}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2005\times a}{a}\right],\\ B&=\left[\dfrac{2005\times 1}{b}\right]+\left[\dfrac{2005\times 2}{b}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2005\times b}{b}\right],\end{split}\]试求 $A+B$ 的值.

解析    我们证明一个更一般的命题.

引理    已知 $a,b$ 是互质的正整数,且 $a+b=m$,则\[\sum_{i=1}^a\left[\dfrac{mi}{a}\right]+\sum_{j=1}^b\left[\dfrac{mj}{b}\right]=\dfrac{m(m+1)}2+1.\]

引理的证明    先化简左边,有\[\begin{split} \sum_{i=1}^a\left[\dfrac{mi}{a}\right]+\sum_{j=1}^b\left[\dfrac{mj}{b}\right]&=\sum_{i=1}^a\left[\dfrac{(a+b)i}{a}\right]+\sum_{j=1}^b\left[\dfrac{(a+b)j}{b}\right]\\ &=\sum_{i=1}^a\left[\dfrac{bi}{a}+i\right]+\sum_{j=1}^b\left[\dfrac{aj}{b}+j\right]\\ &=\dfrac{a(a+1)}2+\dfrac{b(b+1)}2+\sum_{i=1}^a\left[\dfrac{bi}{a}\right]+\sum_{j=1}^b\left[\dfrac{aj}{b}\right]\\ &=\dfrac{a(a+1)}2+\dfrac{b(b+1)}2+\sum_{i=1}^{a-1}\left[\dfrac{bi}{a}\right]+\sum_{j=1}^{b-1}\left[\dfrac{aj}{b}\right]+a+b,\end{split}\] 如图,构造 $a\times b$ 的矩形网格,可得 $\sum_{i=1}^{a-1}\left[\dfrac{bi}{a}\right]$ 和 $\sum_{j=1}^{b-1}\left[\dfrac{aj}{b}\right]$ 分别是在对角线两侧的矩形内部格点的个数,因此\[\sum_{i=1}^{a-1}\left[\dfrac{bi}{a}\right]+\sum_{j=1}^{b-1}\left[\dfrac{aj}{b}\right]=(a-1)(b-1).\]

从而\[\sum_{i=1}^a\left[\dfrac{mi}{a}\right]+\sum_{j=1}^b\left[\dfrac{mj}{b}\right]=\dfrac{a(a+1)}2+\dfrac{b(b+1)}2+(a-1)(b-1)+a+b=\dfrac{(a+b)(a+b+1)}2+1,\]命题得证.

回到原题    当 $m=2005$ 时,有 $A+B=\dfrac{2005\times 2006}2+1=2011016$.

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