每日一题[2570]定义与方程

坐标平面上有一边长为 $3$ 个正六边形 $A B C D E F$，其中 $A(3,0)$，$D(-3,0)$，则椭圆 $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{7}=1$ 与正六边形 $A B C D E F$ 有多少个交点？（       ）

A．$0$

B．$2$

C．$4$

D．$6$

E．$8$

答案    E．

解析    如图，设 $G$ 为 $\overline{BC}$ 的中点，则只需要考虑折线段 $ABG$（包含 $A$ 但不包含 $G$）与椭圆的公共点个数．连接 $BD$，设 $G$ 的纵坐标为 $y_G$．

注意到 $A,D$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{7}=1$ 的焦点，而\[BA+BD=3+3\sqrt 3>8,\quad y_G=\dfrac{3\sqrt 3}2<\sqrt 7,\]因此 $B$ 在椭圆外部，$G$ 在椭圆内部，因此折线 $ABG$（包含 $A$ 但不包含 $G$）与椭圆的公共点个数为 $2$，进而椭圆 $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{7}=1$ 与正六边形 $A B C D E F$ 的公共点个数为 $8$．