每日一题[2568]尾数稠密

设 $S_n=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n$，$n$ 是正整数．证明：对满足 $0\leqslant a<b\leqslant1$ 的任意实数 $a,b$，数列 $\big\{S_n-[S_n]\big\}$ 中有无穷多项属于 $(a,b)$，这里 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．

解析    想象一个周长为 $1$ 的圆形道路，从原点 $O$ 出发第 $n$ 步逆时针移动 $\dfrac 1n$ 到达 $P_n$ 位置，则 $S_n$ 为运动的路程，而 $\{S_n-[S_n]\}$ 为 $O$ 到 $P_n$ 的“位移”．先给出两个引理，第一个引理表明此运动会转无数圈，第二个引理表明在若干步后每步的步长会小于任意指定的正实数．我们的证明思路是从第 $k$ 圈开始，每走一圈至少会路过区间 $(a,b)$ 一次，而运动会进行无数圈，因此会路过区间 $(a,b)$ 无数次，命题得证．

引理一    按 $\left[S_n\right]$ 的取值将 $\{S_n\}$ 划分为一系列子列，其中第 $k$ 个子列 $T_k:S_{f(k)},\cdots,S_{f(k+1)-1}$ 满足 $\left[S_n\right]=k$（$n=f(k),\cdots,f(k+1)-1$），即

$$\begin{split} T_1&:S_1,S_2,S_3,\\ T_2&:S_4,S_5,\cdots,S_{10},\\ T_3&:S_{11},\cdots,\end{split}$$ 则 $\{S_n\}$ 的子列 $\{T_k\}$ 有无数个．

引理一的证明    对任意的正整数 $n$，有

$$\begin{split}S_{2^n}&=1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\\&=1+\dfrac12+\left(\dfrac{1}{2^1+1}+\dfrac{1}{2^2}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\right)\\&>1+\dfrac12+\left(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2^n}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\right)\\&=1+\dfrac12+\dfrac12+\cdots+\dfrac12\\&>\dfrac12n,\end{split}$$ 所以当 $n$ 充分大时，$S_n$ 可以大于任何一个正整数，命题得证．

引理二    对于任意 $0\leqslant a<b\leqslant 1$，都存在正整数 $K$，使得当 $k\geqslant K$ 时，子列 $T_k$ 中至少有一项 $S_m$ 在区间 $(k+a,k+b)$ 上．

引理二的证明    注意到第 $k$ 个子列 $T_k:S_{f(k)},\cdots,S_{f(k+1)-1}$ 满足 $\left[S_n\right]=k$（$n=f(k),\cdots,f(k+1)-1$），于是 $T_k$ 中的每一项都落在区间 $[k,k+1)$ 上，而 $T_k$ 中相邻两项的最大间隔为 $\dfrac{1}{f(k)}$，因此当 $f(k)\geqslant\dfrac{1}{b-a}$ 时，$T_k$ 中至少有一项落在区间 $(k+a,k+b)$ 上．考虑到 $f(k)$ 是递增正整数数列，因此必然存在符合条件的 $K$，命题得证．

回到问题    根据引理一、二对满足 $0\leqslant a<b\leqslant1$ 的任意实数 $a,b$，数列 $\{S_n\}$ 的子列 $T_k$（$k=1,2,\cdots$）中，从第 $K$ 个子列开始，每个子列中至少存在一项，其小数部分落在区间 $(a,b)$ 内．数列 $\{S_n\}$ 从第 $K$ 个子列开始有无数个子列，因此原命题得证．