每日一题[2567]综合推断

对于数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$：$1,3,3,3,5,5,5,5,5, \cdots$ 即正奇数 $k$ 有 $k$ 个，是否存在整数 $r,s,t$，使得对于任意正整数 $n$ 都有 ${a_n} = r \cdot \left[ {\sqrt {n + s} } \right] + t$ 恒成立（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）．

答案    存在 $(r,s,t)=(2,-1,1)$ 满足题意．

解析    根据题意，有 $$a_n=2k-1,\quad (k-1)^2<n\leqslant k^2,k\in\mathbb N^{\ast}.$$ 注意以下事实：

事实一    当 $n$ 从 $k^2$ 变化到 $k^2+1$ 时，$a_n$ 的值发生变化，因此 $s=-1$．

事实二    当 $a_n$ 的值发生变化时，每次增量为 $2$，因此 $r=2$．

事实三    $a_n$ 的初值为 $1$，因此 $t=1$．

综上所述，$a_n=2\cdot \left[\sqrt{n-1}\right]+1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．