每日一题[2560]反向伯努利

已知函数 $f(x)=\ln x-a x+\dfrac{a}{x}$（$a>0$）．

1、当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时：

① 解关于 $x$ 的不等式 $f(x)>0$；

② 已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 2$，证明：

$$\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{4^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)<\mathrm{e}^{\frac{3}{4}}.$$

2、若函数 $g(x)=f(x)-\ln 2+\dfrac{3 a}{x}$ 恰有三个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、① 当 $a=\dfrac 12$ 时，有

$$f(x)=\ln x-\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right),$$ 而当 $0<x<1$ 时，有 $f(x)>0$；当 $x>1$ 时，有 $f(x)<0$．因此不等式 $f(x)>0$ 的解集为 $(0,1)$．

② 用不等式 $\ln x<x-1$（$x\in (0,1)$），可得

$$\sum_{k=2}^{n}\ln\left(1+\dfrac{1}{k^2}\right)<\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2}<\sum_{k=2}^n\left(\dfrac{1}{k-\dfrac 12}-\dfrac{1}{k+\dfrac 12}\right)=\dfrac 23-\dfrac{2}{2n+1}<\dfrac 23,$$ 因此 $$\prod_{k=2}^n\left(1+\dfrac{1}{k^2}\right)={\rm e}^{\frac 23}<{\rm e}^{\frac 34},$$ 原不等式得证．

2、方程 $g(x)=0$ 即

$$\ln x-ax+\dfrac{4a}x-\ln 2=0\iff \ln \dfrac x2-2a\left(\dfrac x2-\dfrac 2x\right)=0,$$ 因此问题转化为函数 $h(x)=\ln x-2a\left(x-\dfrac 1x\right)$ 有三个零点．函数 $h(x)$ 的导函数 $$h'(x)=\dfrac{1-2a\left(x+\dfrac 1x\right)}{x},$$ 由 $h(x)$ 有 $3$ 个零点，可得 $h'(x)$ 至少有 $2$ 个零点，于是 $a\in\left(0,\dfrac 14\right)$．接下来证明当 $a\in\left(0,\dfrac 14\right)$ 时，函数 $h(x)$ 确有 $3$ 个零点． 当 $a\in\left(0,\dfrac 14\right)$ 时，$h'(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$，设 $x_1<x_2$，有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&(0,x_1)&x_1&(x_1,1)&1&(1,x_2)&x_2&(x_2,+\infty)\\ \hline h(x)&\searrow&-&\nearrow&0&\nearrow&+&\searrow\\ \hline\end{array}$$ 考虑到当 $x=a^2$ 时，有 $$\ln x-2a\left(x-\dfrac 1x\right)>2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt x}\right)-\dfrac 12+\dfrac{2a}x>\dfrac2{\sqrt x}\left(\dfrac{a}{\sqrt x}-1\right)=0.$$ 当 $x=\dfrac{1}{a^2}$ 时，有 $$\ln x -2a\left(x-\dfrac 1x\right)<2\left(\sqrt x-1\right)-2ax<2\sqrt x\left(1-a\sqrt x\right)=0,$$ 因此函数 $h(x)$ 在 $(a^2,x_1)$ 和 $\left(x_2,\dfrac{1}{a^2}\right)$ 上各有 $1$ 个零点，进而函数 $h(x)$ 有 $3$ 个零点． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac14\right)$．