数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_2=6$，$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}^2+9}{a_n}$（$n\in\mathbb Z^+$）．
1、证明：数列 $\{a_n\}$ 是正整数数列．
2、是否存在 $m\in\mathbb N^+$，使得 $2109\mid a_m$，并说明理由．
解析
1、根据题意，有\[a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2=9\implies a_{n+3}a_{n+1}-a_{n+2}^2=9,\]两式相减，可得\[\dfrac{a_{n+3}+a_{n+1}}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}},\]进而可得\[\dfrac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=\cdots=\dfrac{a_3+a_1}{a_2}=3.\]这样就有\[a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n,\]因此数列 $\{a_n\}$ 是正整数数列．
2、由于 $2109=3\cdot 19\cdot 37$，显然 $3\mid a_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），考虑 $\{a_n\}$ 模 $19$ 的余数，是周期数列\[\underbrace{3,6,15,1,7,1,15,6,3},3,6,\cdots,\]因此不存在 $m\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $2109\mid a_m$．
备注 也可以利用第 $(1)$ 小题的结论，有\[a_{n+1}^2\equiv -9\pmod{19},\]因此 $\{a_n\}$ 中不存在 $19$ 的倍数，从而不存在 $m\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $2109\mid a_m$．