每日一题[2546]差分消常数

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_2=6$，$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}^2+9}{a_n}$（$n\in\mathbb Z^+$）．

1、证明：数列 $\{a_n\}$ 是正整数数列．

2、是否存在 $m\in\mathbb N^+$，使得 $2109\mid a_m$，并说明理由．

解析

1、根据题意，有 $$a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2=9\implies a_{n+3}a_{n+1}-a_{n+2}^2=9,$$ 两式相减，可得 $$\dfrac{a_{n+3}+a_{n+1}}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}},$$ 进而可得 $$\dfrac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=\cdots=\dfrac{a_3+a_1}{a_2}=3.$$ 这样就有 $$a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n,$$ 因此数列 $\{a_n\}$ 是正整数数列．

2、由于 $2109=3\cdot 19\cdot 37$，显然 $3\mid a_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），考虑 $\{a_n\}$ 模 $19$ 的余数，是周期数列 $$\underbrace{3,6,15,1,7,1,15,6,3},3,6,\cdots,$$ 因此不存在 $m\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $2109\mid a_m$．

备注    也可以利用第 $(1)$ 小题的结论，有 $$a_{n+1}^2\equiv -9\pmod{19},$$ 因此 $\{a_n\}$ 中不存在 $19$ 的倍数，从而不存在 $m\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $2109\mid a_m$．