计算 $\left[10\left({\sqrt2}\right)^{\sqrt 2}\right]=$_______．
解析
方法一 取对数\[\ln \left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}=\sqrt 2\ln \sqrt 2,\]而\[6-4\sqrt 2=2\cdot \dfrac{\sqrt 2-1}{\sqrt 2+1}<\ln\sqrt 2<\dfrac 12\left(\sqrt 2-\dfrac{1}{\sqrt 2}\right)=\dfrac{\sqrt 2}4,\]于是\[0.48<6\sqrt 2-8<\sqrt 2\ln \sqrt 2<\dfrac 12=0.5,\]于是\[{\rm e}^{0.48}<\left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}<{\rm e}^{0.5}.\]一方面，有\[1.65^2=2.7225>{\rm e}\implies {\rm e}^{0.5}<1.65.\]另一方面，有\[{\rm e}^x>1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3~(x>0)\implies {\rm e}^{0.48}>1.61363.\]综上所述，有\[\left(10\left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}\right]=16.\]
方法二 考虑泰勒展开, 在 $x\in (0,1)$ 上, 有\[(1+x)^{1+x}=1+x+x^2+\dfrac{x^3}2+\dfrac{x^4}3+\dfrac{x^5}{12}+o(x^6),\]因此\[1+x+x^2+\dfrac{x^3}2+\dfrac{x^4}3+\dfrac{x^5}{12}<(1+x)^{1+x}<1+x+x^2+\dfrac{x^3}2+\dfrac{x^4}3+\dfrac{x^5}{12}\cdot \dfrac{1}{1-x},\]其中后侧不等式将余项放缩为了无穷递缩等比数列. 因此取 $x=\sqrt 2-1$, 可得\[1.6321\cdots=\dfrac{21-\sqrt 2}{12}<\left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}<\dfrac{100-43\sqrt 2}{24}=1.6328\cdots,\]这样我们就得到了\[\left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}=1.632\cdots.\]
备注 事实上, $\left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}=1.6325\cdots$．