每日一题[2494]数值估计

计算 $\left[10\left({\sqrt2}\right)^{\sqrt 2}\right]=$_______．

解析

方法一    取对数

$$\ln \left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}=\sqrt 2\ln \sqrt 2,$$ 而 $$6-4\sqrt 2=2\cdot \dfrac{\sqrt 2-1}{\sqrt 2+1}<\ln\sqrt 2<\dfrac 12\left(\sqrt 2-\dfrac{1}{\sqrt 2}\right)=\dfrac{\sqrt 2}4,$$ 于是 $$0.48<6\sqrt 2-8<\sqrt 2\ln \sqrt 2<\dfrac 12=0.5,$$ 于是 $${\rm e}^{0.48}<\left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}<{\rm e}^{0.5}.$$ 一方面，有 $$1.65^2=2.7225>{\rm e}\implies {\rm e}^{0.5}<1.65.$$ 另一方面，有 $${\rm e}^x>1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3~(x>0)\implies {\rm e}^{0.48}>1.61363.$$ 综上所述，有 $$\left(10\left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}\right]=16.$$

方法二    考虑泰勒展开, 在 $x\in (0,1)$ 上, 有

$$(1+x)^{1+x}=1+x+x^2+\dfrac{x^3}2+\dfrac{x^4}3+\dfrac{x^5}{12}+o(x^6),$$ 因此 $$1+x+x^2+\dfrac{x^3}2+\dfrac{x^4}3+\dfrac{x^5}{12}<(1+x)^{1+x}<1+x+x^2+\dfrac{x^3}2+\dfrac{x^4}3+\dfrac{x^5}{12}\cdot \dfrac{1}{1-x},$$ 其中后侧不等式将余项放缩为了无穷递缩等比数列. 因此取 $x=\sqrt 2-1$, 可得 $$1.6321\cdots=\dfrac{21-\sqrt 2}{12}<\left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}<\dfrac{100-43\sqrt 2}{24}=1.6328\cdots,$$ 这样我们就得到了 $$\left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}=1.632\cdots.$$

备注    事实上, $\left(\sqrt 2\right)^{\sqrt 2}=1.6325\cdots$．