每日一题[2483]三足鼎立

如图，正方体 $A B C D-E F G H$ 的棱长为 $2$，在正方形 $A B F E$ 的内切圆上任取一点 $P_{1}$，在正方形 $B C G F$ 的内切圆上任取一点 $P_{2}$，在正方形 $E F G H$ 的内切圆上任取一点 $P_{3}$．求 $\left|P_{1} P_{2}\right|+\left|P_{2} P_{3}\right|+\left|P_{3} P_{1}\right|$ 的最小值与最大值．

答案    最小值为 $3\sqrt 2-3$，最大值为 $3\sqrt 6$．

解析    设 $P_1(1,\cos x,\sin x)$，$P_2(\sin y,1,\cos y)$，$P_3(\cos z,\sin z,1)$，题中代数式为 $d$，则

$$\begin{split} d&=\sum_{\rm cyc}\sqrt{(1-\sin y)^2+(\cos x-1)^2+(\sin x-\cos y)^2}\\ &\geqslant \sum_{\rm cyc}\sqrt{(1-\sin y)^2+(1-\cos x)^2}\\ &\geqslant \dfrac{1}{\sqrt 2}\sum_{\rm cyc}(2-\sin y-\cos x)\\ &=3\sqrt 2-\dfrac{1}{\sqrt 2}\sum_{\rm cyc}(\sin x+\cos x)\\ &=3\sqrt 2-\sum_{\rm cyc}\sin\left(x+\dfrac{\pi}4\right)\\ &\geqslant 3\sqrt 2-3,\end{split}$$ 等号当 $x=y=z=\dfrac{\pi}4$ 时取得，因此所求最小值为 $3\sqrt 2-3$． 另一方面，有 $$\begin{split} d&=\sum_{\rm cyc}\sqrt{(1-\sin y)^2+(\cos x-1)^2+(\sin x-\cos y)^2}\\ &=\sum_{\rm cyc}\sqrt{4-2\sin y-2\cos x-2\sin x\cos y}\\ &\leqslant \sqrt 3\cdot \sqrt{\sum_{\rm cyc}(4-2\sin y-2\cos x-2\sin x\cos y)}\\ &=\sqrt 3\cdot \sqrt{18-2\sum_{\rm cyc}(1+\sin y)(1+\cos x)}\\ &\leqslant \sqrt 3\cdot \sqrt {18}=3\sqrt 6 ,\end{split}$$ 等号当 $x=y=z=\pi$ 时取得，因此所求最大值为 $3\sqrt 6$．

综上所述，$\left|P_{1} P_{2}\right|+\left|P_{2} P_{3}\right|+\left|P_{3} P_{1}\right|$ 的最小值为 $3\sqrt 2-3$，最大值为 $3\sqrt 6$．