每日一题[2484]换底公式

设 $a,b,c>1$，满足 $\left(a^{2} b\right)^{{\log _{a}} c}=a \cdot(a c)^{{\log _{a}} b}$，则 $\log _{c}(a b)$ 的值为_______．

答案    $2$．

解析    设 ${\log_c}a=A$，${\log_c}b=B$，在题中等式两边取以 $c$ 为底的对数，则\[\dfrac 1A\cdot (2A+B)=A+\dfrac{B}{A}\cdot (A+1),\]化简可得所求代数式的值 $A+B=2$．