一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数 $1,2,3,4,5,6$．随机地投掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为 $a_{1},a_{2},a_{3}$，则事件\[\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6\]发生的概率为_______．
答案 $\dfrac 14$．
解析 根据题意，有\[\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6\iff \max\{a_1,a_2,a_3\}-\min\{a_1,a_2,a_3\}=3.\]
情形一 $a_1,a_2,a_3$ 各不相同，此时对应 $3\cdot 2\cdot 3!=36$ 种排列．
情形二 $a_1,a_2,a_3$ 中有两个数相同．此时对应 $3\cdot 2\cdot 3=18$ 种排列．
因此所求概率为\[\dfrac{36+18}{6^3}=\dfrac 14.\]
备注 事件 $\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=2k$ 的概率\[p(k)=\begin{cases} \dfrac{1}{36},&k=0,\\ \dfrac{k(6-k)}{36},&k=1,2,3,4,5.\end{cases}\]进而 $\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|$ 的数学期望是 $\dfrac{35}6$，也就是说最大数与最小数之差的数学期望是 $\dfrac{35}{12}$．