求值：$\cos 48^{\circ}-\cos 12^{\circ}+\cos 36^{\circ}=$_______．
答案 $\dfrac 12$．
解析 如图，设 $OA=OB=1$，且 $\angle AOP=12^\circ$，$\angle BOP=48^\circ$，则 $\angle BOA=36^\circ$，设 $A,B$ 在 $OP$ 上的投影分别为 $A_1,B_1$，$B$ 在 $OA$ 上的投影为 $H$，则\[ \cos 48^{\circ}-\cos 12^{\circ}+\cos 36^{\circ}=OB_1-OA_1+OH=OH-A_1B_1.\]
注意到\[\angle B_1BA=\angle BOA-\angle BOB_1=72^\circ-42^\circ=30^\circ,\]于是 $A_1B_1=\dfrac 12AB$．倍长 $OH$ 到 $C$，有 $OH=\dfrac12OC$，此时\[\angle ACB=\angle ABC=36^\circ,\]因此\[OH-A_1B_1=\dfrac{OC-AB}2=\dfrac{OC-AC}2=\dfrac 12OA=\dfrac 12.\]