每日一题[2469]恰好相逢

函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{x-1}+a\right)\cdot\ln x$．若 $f(x)\geqslant 1$ 对任意 $x\in (0,1)\cup(1,+\infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值集合．

答案    $\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$．

解析  注意到 $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=1$，因此考虑补充 $A(1,0)$ 点后的函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值（也为最小值）$1$．根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{1}{x(x-1)^2}\cdot \left(a(x-1)^2+(x-1)-x\ln x\right),$$ 设 $x=1+\delta$，则 $$a(x-1)^2+(x-1)-x\ln x=a\delta^2+\delta-(1+\delta)\ln (1+\delta),$$ 考虑到 $a$ 影响 $\delta^2$，因此记右侧为 $g(\delta)$，则 $$g(\delta)=a\delta^2+\delta-(1+\delta)\left(\delta-\dfrac 12\delta^2+o(\delta^3)\right)=\left(a-\dfrac 12\right)\delta^2+o(\delta^3),$$ 因此 $a=\dfrac 12$．否则在 $1$ 的邻域内 $f'(x)$ 保号，也即在该邻域内 $f(x)$ 单调，不可能同时满足在 $x=1$ 两侧函数值均不小于 $1$．严格证明如下．

情形一     $a=\dfrac 12$．此时即对数函数的进阶放缩，成立．

情形二    $a>\dfrac12$．此时 $f(x)$ 在 $x=1$ 的邻域内单调递增，因此在 $x=1$ 的左侧会出问题．考虑当 $-1<\delta<0$ 时，有 $$\ln(1+\delta)<\delta-\dfrac 12\delta^2,$$ 因此 $$g(\delta)>\dfrac 12\delta^2\left(\delta+2a-1\right),$$ 这样在区间 $\left(\max\{1-2a,-1\},0\right)$ 上 $g(\delta)$ 恒正，从而在对应区间 $\left(\max\{2-2a,0\},1\right)$ 上，$f(x)$ 单调递增，因此在该区间上 $f(x)<1$，不符合题意．

情形三     $a<\dfrac12$．此时 $f(x)$ 在 $x=1$ 的邻域内单调递减，因此在 $x=1$ 的右侧会出问题．考虑当 $0<\delta$ 时，有 $$\ln(1+\delta)>\delta-\dfrac 12\delta^2,$$ 因此 $$g(\delta)<\dfrac 12\delta^2\left(\delta+2a-1\right),$$ 这样在区间 $\left(0,1-2a\right)$ 上 $g(\delta)$ 恒正，从而在对应区间 $\left(1,2-2a\right)$ 上，$f(x)$ 单调递减，因此在该区间上 $f(x)<1$，不符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值集合为 $\left\{\dfrac 12\right\}$．

备注    关于 $y=\ln x$ 和 $y=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}+a}$ 的图象的位置关系，如图．