每日一题[2460]构造与递推

$\displaystyle\sum_{k=1}^8(-1)^k\dbinom 8kk^8$ 的值为_______．

答案    $40320$．

解法一    设 $f(n,r)=\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^k\dbinom nkk^r$，则所求代数式为 $I(8,8)$，有 $$\begin{split} f(n,r)&=\sum_{k=1}^n(-1)^k\dbinom nkk^r\\ &=\sum_{k=1}^n(-1)^k\left(\dfrac nk\dbinom{n-1}{k-1}\right)\cdot k^r\\ &=n\sum_{k=1}^n(-1)^{k}\dbinom{n-1}{k-1}k^{r-1}\\ &=n\sum_{k=1}^n(-1)^k\left(\dbinom nk-\dbinom{n-1}k\right)k^{r-1}\\ &=n\left(f(n,r-1)-f(n-1,r-1)\right) ,\end{split}$$ 而 $I(1,1)=-1$，当 $n\geqslant 2$ 时，有 $$I(n,1)=\sum_{k=1}^n(-1)^k\dbinom nkk=n\sum_{k=1}^n(-1)^k\dbinom{n-1}{k-1}=n(1-1)^{n-1}=0,$$ 因此可得 $$I(n,r)=\begin{cases} 0,&r<n,\\ (-1)^n\cdot n!,&r=n.\end{cases}$$ 进而 $I(8,8)=8!=\boxed{40320}$． $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline n&&&&&&(-1)^n\cdot n!\\ \hline \cdots&&&&&\cdots&0\\ \hline 4&&&&4!&\cdots&0\\ \hline 3&&&-3!&0&\cdots&0\\ \hline 2&&2!&0&0&\cdots&0\\ \hline 1&-1&0&0&0&\cdots&0\\ \hline r/n&1&2&3&4&\cdots&n \\ \hline \end{array}$$

解法二    原式可以看作是一个由数字 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 组成的 $8$ 位数按容斥原理计算的结果，因此其值为 $8!= \boxed{40320}$．